MAKALAH ALJABAR NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.......................................................................................................1

DAFTAR ISI……………………………………………………………….…………………….2

BAB I PENDAHULUAN……………………………………………..........................3

A,Latar Belakang…………………………………………………………………………………………….……..…4

B.Rumusan Masalah………………………………………………………………………………………………….5

C.Tujuan…………………………………………………………………………………………………………………..6

BAB II PEMBAASAN………………………………………………………….…………7

A.Defenisi nilai eigen dan vector eigen………………………………………………………………………8

B.Pembahasan………………………………………………………………………………………………………….9

BAB III PENUTUP…………………………………………………………………………10

A .Kesimpulan………………………………………………………………………………………………………….11

B.saran…………………………………………………………………………………………………………………….12

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………………...13

BAB I

PENDAHULUAN

A.Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan dari fenomena riilyang dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika. Mata kuliah Al-Jabar Linier sangat bermanfaat bagi kita dalam ketika mempelajarimatematika lanjutan dan penerapannya dalan sains dan teknologi. Pada makalah kitakali ini kita akan membahas materi lanjutan dari mata kuliah Al-Jabar Linier yaitu nilaieigen (eigen value), vektor eigen (eigen vector )

Pada umumnyaperumusan model matematika ini berupa fungsi. Dalam banyak kasus, tidaksemua model matematika tersebut dapat diselesaikan secara mudah denganmenggunakan metode analitik, sehingga digunakan metode numerik untukmencari penyelesaiannya. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untukmemformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan denganoperasi perhitungan atau aritmetik biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) .Pada umumnya metode numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawabyang eksak (tepat), tetapi mengusahakan perumusan metode yang menghasilkanjawab pendekatan yang berbeda dari jawab yang eksak sebesar suatu nilai yangmerupakan galat dari metode yang digunakan. Namun demikian, hasilperhitungan dengan metode numerik cukup dapat memberikan solusi padapersoalan yang dihadapi.Salah satu penerapan dari metode numerik ini yaitu dalam masalah nilaieigen dan vektor eigen. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif yangdigunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks. Carayang digunakan dalam metode numerik ini termasuk unik karena dalampenyelesaiannya hanya diperlukan operasi-operasi aljabar biasa. Hanya saja,dalam penghitungannya tidak cukup dilakukan sekali tetapi harus dilakukanberulang-ulang sampai ditemukan nilai yang konvergen ke satu nilai yangmerupakan nilai penyelesaiannya.Nilai eigen banyak digunakan untuk mendapatkan solusi berbagai bidang.Karena permasalahan nilai eigen cukup penting kegunaannya, maka berbagaimetode yang digunakan untuk menemukan nilai eigen menjadi penting untukdipelajari. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakanuntuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks, salah satunyayaitu metode pangkat.Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen menggunakan metodepangkat, akan memerlukan proses iterasi yang sangat panjang untuk menemukan hasil yang mendekati nilai yang sebenarnya. Semakin banyak iterasi yangdilakukan, maka semakin baik hasil yang diperoleh.

Intinya salahh satu materi yang harus benar benar anak didik kuasai adaah materi aljabar,materi ini banyak diterapkan pada kehidupan sehari-hari.

B.Rumusan Masalah

1.Mengetahui tentang Apa itu Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

2.mengetahui tentang apa yang di maksud dengan vector eigen

C.Tujuan Masalah

Adapaun tujuan makalah ini adalah:

Diharapkan pembaca khususnya minimal mengetahui tentang apa itu nilai eigen dan vector eigen atau lebih bagus lagi jika memahami tentang nilai dan vector aigen itu sendiri.

Tujuan:

1. Manfaat nilai eigen & Untuk mengetahui definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

2. Memahami dan mahir menghitung nilai dan vektor eigen.

3. Memahami arti geometri dari nilai dan vektor eigen.

BAB II

LANDASAN TEORI

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai Eigen Definisi Sebuah matriks bujur sangkar dengan orde n × n misalkan A dan sebuah vektor kolom X. Vektor X adalah vektor dalam ruang Euclidean Rⁿ yang dihubungkan dengan sebuah persamaan:

AX = λX

Dimana λ adalah suatu skalar dan X adalah vektor yang tidak nol. Skalar λ dinamakan nilai Eigen dari matriks A. Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor X adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu.

Contoh :1

Misalkan sebuah vektor X = dan sebuah matriks bujur sangkar orde 2 × 2

2 Nilai Eigen

Kita tinjau perkalian matriks A dan X dalam persamaan sebelumnya kedua sisi dalam persamaan tersebut dikalikan dengan matriks identitas didapatkan:

IAX = IλX

AX = λIX

(λI − A)X = 0

Persamaan tersebut terpenuhi jika dan hanya jika det[λI − A] Dengan menyelesaikan persamaan det[λI −A] dapat ditentukan nilai eigen (λ) dari sebuah matriks bujur sangkar A tersebut.

3 Vektor Eigen

Kita tinjau kembali persamaan AX = λX dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Pada sub Bab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen (vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya. kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde 2 × 2 berikut:

(a11 − λ)x1 + a12x2 = 0

a21x1 + (a22 − λ)x2 = 0

Persamaan diatas adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rⁿ yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika ersamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.

Tentukan vektor eigen dari matriks A =

Penyelesaian

Nilai eigen matriks A didapatkan dari persamaan:

Nilai eigen matriks A adalah: λ = 2 dan λ = 3

Vektor eigen didapatkan dengan persamaan:

(1 − λ)x1 + 3x2 = 0

2x1 − λx2 = 0

untuk λ = 2 maka

−x1 + 3x2 = 0

2x1 − 2x2 = 0

Solusi non trivial sistem persamaanlinier tersebut adalah:

3x2 = x1

Misalkan x1 = r maka x2 = 3r

Jadi vektor eigen matriks A untuk λ = 2 adalah:

dengan r bilangan sebarang yang tak nol.

Untuk λ = 3

Vektor eigen didapatkan dari sistem persamaan linier:

Solusi non trivial adalah:

Misalkan x1 = r vektor eigen matriks A yang sesuai dengan λ = 3 adalah:

dengan r bilangan sebarang yang tidak nol.

PENUTUP

A.KESIMPULAN

1.Definisi Vektor Eigen:

Jika A adalah sebuah matriks nxn maka sebuah vektor tak nol xdi dalam Rn

dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalardari x:Ax =

B.SARAN

Penulis sangat menyadari dan memahami bahwa pembuatan makalah ini jauh dari kekurangan dan kelemahan dalam pembuatanya.Maka dari itu,penulis pun tidak menolak adanya saran dan kritik yang sifatnya mendukung dan membangun dari para pembaca agar Makalah selanjutnya nanti, jauh lebih sempurna dan layak untuk dibaca olleh para pembaca sekian